Vis svaret
Vi kan se fem sideflater, fordi den sjette ligger ned mot bordet.
Terninger
Aktivitet
I denne oppgaven skal vi bruke terninger i forskjellige kombinasjoner. Finn fram tre terninger i samme størrelse.
Begynn med å se på en av terningene.
Plasser terningen på et bord eller et annet flatt underlag. Hvor mange sideflater klarer du å se? Du kan gå rundt terningen og bøye deg ned og strekke deg, men du må ikke røre den. Trykk på knappen nedenfor for å sjekke svaret ditt:
Etterpå plasserer du to terninger på bordet, enten hver for seg eller sammen. Hvilke mulige organiseringer finnes det?
Her er terningene satt sammen på tre forskjellige måter:
Hvor mange kvadratiske sideflater kan du se på de forskjellige måtene? Prøv å se for deg hvor mange kvadratiske sideflater du kan se i hvert tilfelle. Etterpå kan du sette terningene dine slik etterpå for å sjekke svarene dine. Etterpå kan du trykke på knappen nedenfor.
Vis svaret
- I det første eksemplet kan jeg se ni sideflater, fire ganger to, pluss den på toppen.
- I det andre eksemplet kan jeg se åtte sideflater, en på hver ende, pluss tre ganger to.
- I det tredje eksemplet kan jeg se ti sideflater, to ganger fem.
Disse tre måtene å plassere terningene på viste meg tre forskjellige antall sideflater. Finnes det noen annen måte jeg kunne plassere terningene på? Ville de i så fall vist meg et annet antall sideflater?
Tenk på hvordan vi kan avgjøre om to organiseringer er like eller ikke. Vil det for eksempel være det samme om jeg snur på det andre eksemplet, slik at den røde terningen er til venstre? Hvorfor eller hvorfor ikke er det det samme?
Til slutt kan du ta alle tre terningene. Plasser dem på forskjellige måter. Det kan være til hjelp å skrive eller tegne hver måte, slik at du klarer å holde oversikt over det du allerede har prøvd ut. Her er noen måter jeg plasserte terningene på:
Hvor mange kvadratiske sideflater kan jeg se i hvert av de tre tilfellene?
Nå er det din tur! Bruk de tre terningene og se hvor mange måter det er å organisere dem på. Hvor mange sideflater kan du se hver gang? Prøv å finne alle mulige måter å gjøre det på.
Mer utforskning
Hva skjer om sideflatene ikke står rett over hverandre? Se på dette eksemplet:
Jeg kan se \(14\frac23\) sideflater med denne organiseringen. Kan du finne ut hvordan jeg har telt dem? Klikk på knappen nedenfor for å sjekke når du har et løsningsforslag.
Se løsning
\(5 \frac{1}{3}+ 4\frac {2}{3} +4 \frac{2}{3}=14\frac{2}{3}\)
Hvor mange måter kan du finne der sideflatene ikke står rett mot hverandre?
Hvor mange måter å gjøre dette på tror du det finnes?
Starthjelp
- Det er lettere å utforske om du bruker terninger som du kan organisere på forskjellige måter.
- Har du mange terninger, kan du lage mange organiseringer og sammenligne dem med hverandre. Du kan også ta bilde av hvordan du plasserer terningene, hvis du synes det er vanskelig å tegne eller holde oversikt på en annen måte.
Lærerveiledning
Hvorfor arbeide med denne oppgaven?
Oppgaven egner seg godt som en inngang til arbeid med romfigurer og overflaten av slike figurer. «Mer utforskning»-oppgaven legger også til rette for praktisk arbeid med brøk. Ved å fullføre denne oppgaven vil elevene måtte arbeide systematisk og bruke matematisk resonnering for å forklare hvordan de kan si at de har funnet alle mulige løsninger.
Mulig tilnærming
Plasser elevene i en sirkel på gulvet eller rundt et bord, og sett terningene som skal undersøkes, i midten. Det kan være lurt å bruke større terninger i denne introduksjonen om du har det. Begynn med én terning, og be elevene fortelle alt de kan om det de ser. Noen vil sannsynligvis si at det er seks flater eller sider på terningen. Ta imot alle forslag med interesse – det er tross alt subjektive opplevelser som beskrives i begynnelsen. Styr deretter fokuset inn mot sideflatene og spørsmålene i oppgaven. Forklar at en kan flytte på hodet og se fra alle vinkler, noe som kanskje også krever at en må legge hodet på bordet eller legge seg ned på gulvet.
Når alle er enige om at fem sideflater er synlige, kan du introdusere en ny terning og fortsette med spørsmålene i oppgaven. Legg vekt på at de tre svarene i eksemplet er forskjellige. Be elevene om å forklare hvordan de teller sideflatene.
Legg deretter til en tredje terning. Lag gjerne et par eksempler, og la noen elever lage eksempler som resten av klassen kan vurdere.
Det kan lønne seg å være rund i kantene når det gjelder krav til standarden på dokumentasjonen i denne oppgaven. Det er aktiviteten med organisering og telling som er viktig denne gangen, ikke det å tegne fine romfigurer i forskjellige orienteringer.
Når dere bryter opp sirkelen og elevene skal arbeide på egen hånd med hvordan de kan organisere tre terninger, kan det være lurt å la to og to elever samarbeide om å kontrollere hverandres telling. Dette kan føre til ganske opphetede diskusjoner, og noen kan trenge hjelp for å komme til enighet om hvordan en kan si at to organiseringer av tre terninger er like eller ulike.
Gode veiledningsspørsmål
• Fortell meg om de delene du kan se.
• Fortell meg om denne biten, som ikke er en hel sideflate.
Mulig utvidelse
Du kan be elevene om å kategorisere figurene de lager og størrelsen på arealene de finner. Du kan også ta i bruk flere terninger.
Enda mer utvidelse
Elever som krever større utfordringer, kan få bryne seg på terninger med et sirkulært hull tvers gjennom. Se for deg (eller ta i bruk en om du har en tilgjengelig) en terning som har et hull i toppen. Hullet er fylt med sand eller noe annet som flytter seg om du presser noe ned i hullet. Se deretter for deg at du presser en annen terning ned i hullet med hjørnet først, slik som på bildet nedenfor. Hvor mye av det totale overflatearealet til den grønne og røde terningen er synlig nå?
Mulig støtte
Noen elever kan dra nytte av å ha mange terninger tilgjengelig, slik at de har mulighet til å beholde de forskjellige organiseringene sine, i stedet for at de må bruke de samme terningene om og om igjen. Slik kan elevene fokusere på organisering og telling i stedet for å bli opphengt i tegning eller annen dokumentasjon av løsningene. Et alternativ er å ta bilder av de forskjellige måtene å organisere terningene på.
Ressursen er utviklet av NRICH