Heltall på ei kule

Vi tenker oss kula plassert i koordinatsystemet og et punkt (a, b, c) på kuleoverflaten, slik figuren viser.

Både den gule og den grønne trekanten er rettvinklet. Hypotenusen i den gule trekanten er katet i den grønne trekanten, og denne siden kaller vi k. Hypotenusen i den grønne trekanten er radien i kula, den har lengde 3.

I den gule trekanten er a² + b² = k².

I den grønne trekanten er k² + c² = 3² → a² + b² + c² = 9

Siden a, b og c skal være hele tall som ikke er større enn 3, må a², b² og c² være enten 0, 1, 4 eller 9.

Vi kan lete etter mulige løsninger ved å velge en verdi for a² først og så en verdi for b² som er slik at

a²+ b² ≤ 9. Til slutt finner vi den verdien for c² som gjør a² + b² + c² = 9.

Dette gir 6 mulige kombinasjoner av a², b² og c². Vi må huske på at ligninger på formen \(x^2=n\), der \(n\) er er et positivt tall, har to løsninger: \(x=\pm\sqrt{n}\).

Det blir i alt 30 punkter på kuleflaten med bare heltallige koordinater.