Hvor mange brøker?

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

I kombinatorikk gjelder det å få oversikt over grupper av elementer og systematisere, - i dette tilfellet er det tall. Utfordringen er å finne gode systemer for å få oversikt over opptellingen, slik at man får med alle tallene uten å telle noen flere ganger.

Denne oppgaven handler om brøker, og det er en øving i å se at flere brøker er like, de er samme tall. Men den er først og fremst en øving i å finne gode og oversiktlige systemer, og å kunne gjøre rede for dem muntlig og skriftlig.

Mulig tilnærming

Begynn med å la elevene få se oppgaven fra Abelkonkurransen. La dem gjette hva som er riktig løsning før arbeidet med å løse oppgaven begynner. Hvor mange brøker kan man lage i alt med de ti tallene både som tellere og nevnere? Kan de finne brøker som er samme tall blant alle disse brøkene? Hvor mange av disse brøkene kan være lik samme tall som en av de andre brøkene?

Dette kan være en fin anledning til å la elevene lære en nyttig problemløsningsstrategi: Løs et tilsvarende, men enklere problem først. Hvis man har et problem det er vanskelig å få oversikt over, kan et enklere problem være slik at man får oversikt og kan lage et effektivt system for å løse problemet. I dette tilfellet kan elevene løse samme problem som i oppgaven, men i stedet for å bruke alle tallene fra 1 til 10, kan de bruke færre tall. Så kan systemet de bruker overføres til det mer omfattende problemet.

Læreren må vurdere hvor mange tall som må være med for at det skal bli behov for en systematisk måte å løse problemet på. Vi anbefaler å ta med tall fra 1 opp til 4, 5 eller helst 6. Blir det for få tall, {1, 2} eller {1, 2, 3}, blir kanskje oppgaven så enkel at det ikke blir behov for å lage et system eller en oversiktlig løsningsmetode.

Hvis læreren ønsker å gi elevene erfaring med denne problemløsningsstrategien, må de få være med på å avgjøre hvor mange tall de skal bruke. Hvis de først velger et altfor enkelt system, vil de se at de må ta med flere tall. Dette må de få erfare selv, det er neppe nok at noen forteller det.

La elevene arbeide i par. Fortell dem at de skal begynne med å løse et enklere problem, for å finne en hensiktsmessig strategi. Fortell at de skal løse samme problem som i oppgaven, men med færre tall. De skal begynne på 1, men hvor mange tall vil de ta med? Vær sikker på at alle forstår oppgaveformuleringen med de tallene de har valgt. La dem få prøve seg fram med den tallmengden de velger. Kanskje velger elevparene ulikt mange tall.

La alle få arbeide en stund med denne oppgaven. Følg med på hva elevene gjør. Bruker de ulike strategier? Oppdager de kjennetegnet på brøker som får samme verdi, - at det er brøker som kan forkortes? Legg en plan for hvem som skal få presentere sine løsningsmetoder, det er fint å se at det fins ulike metoder, og kanskje etter hvert å se at noen metoder er mer effektive enn andre.

Etter at elevene har fått vise sine løsninger og dere har diskutert både om de er riktige og om de er effektive, kan dere ta fatt på oppgaven med tallene fra 1 til 10. Til slutt må løsninger presenteres, og det må bli klart hva som er riktig løsning. Det er viktig at alle har fått se at det er brøkene som kan forkortes som gir samme tall flere ganger, for eksempel vil \(\frac24, \frac36, \frac48, \frac {5}{10}\) alle få samme verdi som \(\frac12\). Og det er viktig at de har funnet en metode for å «luke ut» de brøkene som ikke skal telles med.

Kanskje vil du som lærer bruke anledningen til å øve på å forklare løsningen, muntlig og/eller skriftlig. I en skriftlig forklaring er det ofte nyttig å lage tabeller, men hvordan skal tabellen organiseres? Hva er det nødvendig å ta med for at det skal bli forståelig for den som leser det? Hvis noen av elevene har laget tabeller, er det fint at alle får se dem. Er de oversiktlige og ryddige? Er de lette å forstå? Er de riktige? Kunne noe ha vært forenklet eller forbedret?

Gode veiledningsspørsmål

• Hvilke brøker får du der 1 er nevner? Hvor mange?
• Hvilke brøker får du der 2 er nevner? Får du noen som har samme verdi som brøkene med 1 som nevner? Hvor mange unike tall har 2 som nevner?
• Hvordan går det med brøker med 3 som nevner? Er det noen av disse som er lik brøker vi har telt tidligere?
• Hvilken egenskap har en brøk som er lik brøker vi har telt tidligere og som vi ikke skal telle med på nytt?
• Du kunne ha stilt de to samme spørsmålene som ovenfor, men snakket om tellere i stedet for nevnere.

Mulig utvidelse

• Hvor mange forskjellige tall kan skrives som \(\frac{n}{m}\), der \(m, n \in \{1, 3, 5, 7, 9\}\)?
• Hvor mange forskjellige tall kan skrives som \(\frac{n}{m}\), der \(m, n \in \{2, 4, 6, 8, 10\}\)?