Tenk deg at du har fire poser som inneholder mange 1-tall, 4-tall, 7-tall og 10-tall.
Du kan velge tall fra posene og legge dem sammen slik at du får ulike summer. Du trenger ikke bruke tall fra alle posene, og det er alltid mange nok tall i dem.
Velg tre tall og legg dem sammen. Velg tre nye tall og legg sammen. Gjenta dette flere ganger.
Alise og Karl vil vise hva som skjer, på hver sin måte.
Alle tall i 3-gangen kan representeres slik:
Tallene i hver av posene kan representeres slik:
På tilsvarende måte kan tall som er 2 mer enn et tall i 3-gangen, representeres slik:
Når jeg velger tre tall, ender jeg opp med tre tall i 3-gangen + 3, og til sammen blir dette også et tall i 3-gangen:
Siden alle tall i 3-gangen kan skrives på formen 3n, kan tallene i alle posene skrives som 3n + 1.
På tilsvarende måte kan alle tall som er 2 mer enn et tall i 3-gangen, skrives som 3n + 2.
Så lenge jeg husker på at jeg arbeider med tall i 3-gangen, kan jeg for å gjøre det enkelt kalle alle tall enten +0, +1 eller +2.
Når jeg velger tall fra disse posene, er alle +1-ere, så når jeg legger sammen tre, får jeg +3, som også er i 3-gangen.
Begynn med å undersøke hva som skjer når du legger sammen to, tre, fire … tall fra poser som inneholder 2, 4, 6 og 8. Kan du forklare hva du finner?
Hvis vi velger tre tilfeldige tall fra posene, vil det minste tallet vi kan få, være 3, og alle tallene blir tall i 3-gangen.
Hvis vi velger fire tall, vil summen alltid bli et tall som er 1 mer (eller 2 mindre) enn et tall i 3-gangen. Det minste tallet er 4.
Hvis vi velger fem tall, vil det minste mulige tallet bli 5. De neste tallene blir 5 pluss et tall i 3-gangen.
Hvis vi velger seks tall, vil det minste mulige tallet bli 6. De neste tallene blir 6 pluss et tall i 3-gangen (disse tallene blir også tall i 3-gangen).
Osv.
Hvis vi velger 99 tall, vil summen alltid bli et tall som vil begynne med 99 og øke med tall i 3-gangen.
Denne oppgaven gir elevene anledning til å reflektere over strukturene som ligger under #multipler og rester, og den kan også utfordre dem til å lage fine generaliseringer og begrunnelser.
Begynn med å vise elevene bilde av de fire posene med tall. Enten et bilde av poser med tallene 1, 4, 7 og 10, eller et av poser med tallene 7, 10, 13 og 16. Du kan velge hvilket bilde du vil bruke i oppgaven til elevene.
La elevene velge tre tilfeldige tall og legge dem sammen. De kan ta hvilke som helst tre tall, gjerne flere fra samme pose. Deretter samles en del av summene de har kommet fram til på tavla.
Mange elever vil sikkert se at alle tallene er tall i 3-gangen.
«Prøv å finne tre tall som til sammen ikke er i 3-gangen. Hvis dere ikke klarer å finne noen slike tall, må dere prøve å finne en forklaring på hvorfor det er umulig.»
La elevene arbeide sammen en stund i par. Gå rundt i klassen imens, og prøv å danne deg et bilde av hvor mye de forstår. Så samles klassen til en felles samtale for å dele det de har funnet ut.
Dersom klassen ikke har funnet noen representasjoner som er til hjelp for å forstå dette forholdet, kan du vise dem Karls og/eller Alises representasjoner av problemet. Bruk tid på å få elevene til å forstå hvorfor alle summene blir tall i 3-gangen.
«Nå må dere undersøke videre hva som skjer med summene hvis dere trekker fire, fem, seks … tall fra posene. Om en stund kommer jeg til å plukke ut ganske mange tall fra posene. Dere skal få vite hvor mange tall jeg velger, og så blir det deres utfordring å fortelle hva som er spesielt med den summen jeg kommer til å få.»
Gi elevene tid til å arbeide samen i par med problemet. Samle til slutt alle, og spør dem hva som vil bli spesielt med summen hvis de plukker ut 99 tilfeldige tall fra posene og legger dem sammen. Hva blir spesielt med summen hvis de velger 100 tall og legger dem sammen? Elevene skal forklare hvordan de tenker, ut fra strukturen i problemet, ikke bare ut fra et mønster.
Begynn med å be elevene å finne ut hva som skjer hvis de velger to, tre, fire … tall fra poser som inneholder tallene 2, 4, 6 og 8. Kan de beskrive det de finner ut? Og kan de forklare det?
Ressursen er utviklet av NRICH