Mega-andregradslikninger
Aktivitet
Hver av likningene nedenfor har seks mulige løsninger. Kan dere finne alle?
\(1.\quad(n^2-5n+5)^{(n^2-11n+30)}=1\\ 2.\quad(n^2-7n+11)^{(n^2-13n+42)}=1\)
Kan dere lage flere mega-andregradslikninger som disse?
Hva er betingelsene for at en mega-andregradslikning skal ha minst én løsning?
Hva er maksimalt antall løsninger en mega-andregradslikning kan ha?
Starthjelp
- Hvilke verdier av a og b tilfredsstiller likningen \(a^b=1\)?
Løsning
Likningen \(a^b=1\) er sann i følgende tilfeller:
\(a^0=1\\ 1^m=1\\ (-1)^k=1\:\text{når}\:k\:\text{er et partall}\)
1.
\((n^2-5n+5)^{(n^2-11n+30)}=1\)
Setter eksponenten = 0: \(n^2-11n+30=0\Leftrightarrow n=5\:\lor\:n=6\)
Setter grunntallet = 1: \(n^2-5n+5=1\Leftrightarrow n=1\:\lor\:n=4\)
Setter grunntallet = -1. Sjekker om løsningene gir partall som eksponent:
\(n^2-5n+5=-1\Leftrightarrow n=2\:\lor\:n=3\\ n=2\Rightarrow n^2-11n+30=12,\:partall\\ n=3\Rightarrow n^2-11n+30=6,\:partall\)
Løsning: n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5, n = 6
2.
\((n^2-7n+11)^{(n^2-13n+42)}=1\)
Setter eksponenten = 0:\(n^2-13n+42=0\Leftrightarrow n=6\:\lor\:n=7\)
Setter grunntallet = 1: \(n^2-7n+11=1\Leftrightarrow n=2\:\lor\:n=5\)
Setter grunntallet = -1. Sjekker om løsningene gir partall som eksponent:
\(n^2-7n+11=-1\Leftrightarrow n=3\:\lor\:n=4\\ n=3\Rightarrow n^2-13n+42=12,\:partall\\ n=4\Rightarrow n^2-13n+42=6,\:partall\)
Løsning: n = 2, n = 3, n = 4, n = 5, n = 6, n = 7
Generelt er mega-andregradslikninger på formen
\(f(x) ^{g(x)} = 1\)
der funksjonene \(f\) og \(g\) er andregradsfunksjoner. Eventuelle løsninger er x-verdier som er løsninger til ligningene
\(g(x)=0\) eller
\(f(x) = 1\) eller
\(f(x) = -1\) samtidig som \(g(x)\) er et partall.
Hver av disse likningene er andregradslikninger, som kan ha 0, 1 eller 2 løsninger.
Betingelsen for at en annengradslikning \(ax ^2 +bx + c =0\) skal ha minst en løsning er at \(b ^2-4ac \ge 0.\)
Maksimalt antall løsninger er 6.
Lærerveiledning
Hvorfor arbeide med denne oppgaven?
Elevene får ofte inntrykk av at å løse andregradslikninger er bare et spørsmål om teknikk, og at når de behersker teknikkene, er løsning av andregradslikninger bare rutine. I denne oppgaven må de se sammenhengen mellom ulike områder av matematikken, nemlig andregradslikninger og potenser, og når disse kunnskapene kobles, er løsningen mye enklere enn den først ser ut til.
Mulig tilnærming
Begynn med å vise disse likningene:
\(1.\quad (n^2-5n+5)^{(n^2-11n+30)}=1\\ 2.\quad (n^2-7n+11)^{(n^2-13n+42)}=1\)
Elevene skal forsøke å finne minst én løsning av hver av disse likningene.
Gi dem tid til å arbeide i par. Følg med på samtalene, og prøv å merke deg ulike tilnærminger. Noen begynner med å finne eksponenter som er lik 0, andre med å gjøre uttrykkene som står som grunntall i potensene, lik 1.
Etter en stund kan noen elevpar dele løsningen sin med klassen.
Hvis elevene har løst oppgavene med forskjellige metoder, kan du utfordre dem til å forklare hvordan de har tenkt, og hva som er likt å forskjellig med de ulike måtene å tenke på.
Når elevene har presentert løsningene sine, kan du be dem telle hvor mange forskjellige løsninger klassen har funnet til sammen. Spør om de kan være sikre på at de har funnet alle løsningene, og hvordan de i så fall kan være sikre på det. Så kan dere diskutere hvor mange løsniger en mega-andregradslikning kan ha, og om alle slike likninger virkelig har løsninger.
Elevene kan deretter lage og løse tilsvarende likninger.
Gode veiledningsspørsmål
- Hvilke verdier av a og b tilfredsstiller likningen \(a^b=1\)?
- Hvordan kan hver av løsningene av likningen \(a^b=1\) hjelpe dere til å løse oppgavene?
- Hva er betingelsene for at en vanlig annengradslikning skal ha løsninger?
- Hvor mange løsninger kan en vanlig annengradslikning ha?
Ressursen er utviklet av NRICH