Gruppe 1
Quad står for firkant.
Stålkabler
Aktivitet
For å lage sterke kabler, kan vi sette sammen tråder i en sekskantet form.
Bildet viser tverrsnittet av en kabel i størrelse 5. Den er satt sammen av 61 tråder.
Hvor mange tråder trengs for å lage en kabel i størrelse 10?
Hvor mange tråder trengs for en kabel i størrelse n?
Forklar hvordan dere tenker, og begrunn det dere kommer fram til.
Så snart dere har forstått hva problemet går ut på, kan dere klikke dere inn på lenkene nedenfor. Der ligger det fire diagrammer som grupper av elever har tegnet.
Kan disse bildene gi dere noen ideer til hvordan dere skal finne antallet tråder som oppgavene ovenfor spør om?
Gruppe 2
Gruppe 3
Gruppe 4
Det disse elevene har gjort, ligger i tillegg under Starthjelp. Der er det også tatt med det gruppene har skrevet, slik at dere kan se hva de har tenkt, og hvordan de har regnet.
- Hvilken av de fire måtene å tenke på gir mest mening for deg?
- Hva er det du liker ved din favoritt-tilnærming?
Kan du tenke deg andre måter å tenke på enn de fire som er vist her?
Starthjelp
Kjenner dere noen rask måte til å legge sammen alle hele tall fra 1 til n? Hvis ikke er det lurt å undersøke det først. (Søk på internett eller finn det i en lærebok.)
Nedenfor er løsningene på oppgavene, men her vises også hvordan elevene arbeidet med diagrammene. Kan dere forklare hvordan de har tenkt?
Om du synes det er vanskelig å lese teksten på bildene, kan du vise en større versjon ved å åpne bildet i en ny fane.
Gruppe 1
Gruppe 2
Gruppe 3
Gruppe 4
Hvis dere synes det er vanskelig å forstå hva disse gruppene har tenkt og gjort, ut fra det de har skrevet, kan dere prøve å forstå det ved å se på det de har markert på figurene.
Løsning
Antallet tråder i en kabel i størrelse \(10\), er \(271\).
Antallet tråder i en kabel størrelse \(n\) er \(3n^2-3n+1\)
Denne oppgaven kan løses ved å dele opp figuren på mange forskjellige måter.
I tillegg til de fire måtene som er vist i oppgaven, finnes for eksempel disse:
Her ser du en fremgangsmåte:
Ingvill sin løsning
Lærerveiledning
Hvorfor arbeide med denne oppgaven?
Mange elever er vant til å bruke tallmønster for å generalisere. Denne oppgaven gir en alternativ tilnærming – den utfordrer dem til å studere strukturen i problemet ved å prøve å forstå hvordan andre har tenkt. Dette er en viktig del av det å arbeide matematisk. Men la elevene først arbeide litt med problemet uten å se disse eksemplene, slik at de får satt seg godt inn i hva problemet går ut på.
Innsikten elevene kan få gjennom disse eksemplene, kan være til hjelp for å finne en generell formel, og den kan hjelpe elevene til å se verdien av ekvivalente algebraiske uttrykk.
En mulig tilnærming
Begynn med å vise denne figuren:
«Kabler kan gjøres sterkere ved å legge tråder kompakt inntil hverandre i en sekskantform. Figuren viser en kabel i størrelse 5. Kan dere, uten å telle hver tråd, finne ut hvor mange tråder den inneholder?»
Gi elevene litt tid til å tenke seg om, først alene og så i par, før dere snakker sammen i klassen og lar dem dele de ulike metodene de har brukt til å finne antallet.
Del ut ark med oppgaven. Kopieringsoriginal finnes her.
«Hvor mange tråder trengs for å lage en kabel i størrelse 10?»
Kopieringsoriginal til figurer som elevene kan tegne på mens de arbeider, finnes her.
«Mens dere arbeider med det, må dere ha i tankene at dere skal prøve å finne en metode som fungerer, uansett hvor tykk kabel man vil lage.»
Følg med mens elevene arbeider, og legg merke til hvilke metoder de bruker. Når klassen er klar, samles de for å dele erfaringer. Få elever som har brukt interessante metoder og resonnement, til å presentere arbeidet sitt.
Utfordre elevene til å vise at de ulike metodene gir samme algebraiske uttrykk. Hvis de IKKE gjør det, skal du utfordre dem til å finne ut hvilke metoder som gir riktige løsninger, og hvilke som ikke gjør det, samt hvorfor. Det kan også hende at de har gjort algebra-feil.
Del så ut arket med fire ulike måter å tenke på. Kopieringsoriginal finnes her.
«Her ser dere hvordan fire elevgrupper har tegnet og tenkt. Forklar hvordan hver av figurene er brukt til å finne løsningen, og kontroller at alle løsningene blir riktige.»
Oppsummer i samlet klasse til slutt. Var alle metodene greie å forstå? Hadde noen av elevene brukt en av de fire løsningsmetodene som var vist på arket?
Hvordan kan vi vise at løsninger som kan være på ulik form, alle er riktige? (f.eks. \(3n^2-3n+1,\:1+3n(n-1)\) og \(3(n^2-1)+1\))
Gode veiledningsspørsmål
- Kan dere finne en enkel måte å legge sammen de hele tallene fra 1 til n på?
- Se på bildene som de ulike gruppene har brukt for å finne antallet tråder i en kabel med størrelse 5. Hvordan ville de ha tegnet og regnet hvis de så på en kabel i størrelse 6?
Mulig utvidelse av oppgaven
Utfordre elevene til å prøve å tenke ut enda flere måter å finne antallet tråder i kabelen på.
Ressursen er utviklet av NRICH