Fyll opp mer!
Aktivitet
I oppgaven Fyll opp! skal du skissere grafer som viser sammenhengen mellom høyden på vannet og volumet av vannet i seks forskjellige beholdere, mens de fylles opp.
I stedet for å skissere grafer eller plotte eksperimentelle data kan vi lage grafer ved å analysere formen på hver beholder, og finne funksjonen som uttrykker sammenhengen mellom høyde og volum. Noen funksjonsuttrykk er enklere å finne analytisk enn andre!
Både vannglasset og den nedre delen av kolben på bildet er avkappede kjegler. Vi kan bruke det vi vet om egenskapene til volumet av kjegler, for å analysere det som skjer når vi fyller glasset eller kolben med vann.
Se for deg en kjegle som står med spissen ned når den fylles med vann:
I kjeglen til høyre er vannhøyden doblet. Hvordan er volumet endret? Hva om vannhøyden ble tredoblet? Hva om vannhøyden økte med en faktor n?
Hvor mye må vannhøyden økes for å doble volumet? Hvor mye må den økes for å tredoble volumet? Hvor mye må den økes for å øke volumet med en faktor n?
Hvordan vil en graf av volumet (y) mot høyden (x) se ut?
Hvordan vil en grav av høyden (x) mot volumet (y) se ut?
Vannglasset er ikke en hel kjegle, men en avkuttet kjegle. Hvordan kan du bruke grafen til en kjegle for å finne ut hvordan grafen til vannglasset ser ut?
Utfordring:
- Kan du, ved å bruke en lignende analyse, finne formen på grafen til vannhøyde mot volum for en kjegle som står på grunnflaten (sirkelen), i stedet for med spissen ned?
- Kan du bruke denne grafen til å finne ut hvordan grafen til kolben vil bli?
Starthjelp
Se for deg en konisk beholder som inneholder \(10 cm^3\) vann når den er fylt opp til en høyde på 1 cm:
| Vannhøyde | Volum |
| 1 | 10 |
| 2 | 80 |
| 3 | 270 |
- Hva er forholdet mellom høyde og volum i kjeglen som fylles i tabellen?
- Hvordan kan du tegne en graf som viser det?
Lærerveiledning
Hvorfor arbeide med denne oppgaven?
Denne oppgaven går videre fra Fyll opp!, og gir elevene mulighet til å bruke vekstfaktorer på volum for å finne forholdet mellom volumet og høyden på en kjegle.
Mulig tilnærming
Det kan være lurt at elevene har erfaringer med skissering av grafer før de begynner med denne oppgaven. La dem skissere grafene til oppgaven «Fyll opp!», som du finner som kopioriginal 1.
«Se for dere at vi vil plotte grafene nøyaktig ved å formulere likninger som viser sammenhengen mellom vannhøyde og volum. Noen deler av beholderne vil være enklere å arbeide med enn andre. Hvilke vil være enklest? Hvilke vil være vanskeligst?»
Bruk tid på å diskutere elevenes ideer, og relater dem til grafene som elevene har skissert ovenfor.
«La oss prøve å analysere hvordan høyden endrer seg når vannglasset fylles. Vannglasset kan ses på som en del av en kjegle, så jeg vil først at dere skal se på en kjegle som fylles med vann.»
Gi elevene kopioriginal 2 som de kan arbeide med i grupper på 3–4. Gjør det klart for dem at du forventer at alle skal være i stand til å forklare tenkingen sin, og at hvem som helst fra gruppen kan måtte si noe om gruppens arbeid og konklusjon, i diskusjoner underveis og i en avsluttende diskusjon.
På slutten av økta bør gruppene få presentere tankene sine for resten av klassen.
Gode veiledningsspørsmål
- Hva skjer med volumet av en kjegle når du forstørrer den med faktorene 2, 3, 4, 5, ..., n?
- Hvis volumet av vannet er \(10 cm^3\) når vannhøyden er 1 cm, hva vil volumet være når vannhøyden er 2, 3, 4, ..., x cm?
Mulig utvidelse
Nederst på oppgavesiden er det foreslått to utfordringer: Å analysere den inverse kjeglen er en ganske lik utvidelse, mens å analysere en sfærisk flaske er mer utfordrende.
Oppgaven Nedsenking gir flere muligheter til å arbeide med funksjonsforhold relatert til volum.
Ressursen er utviklet av NRICH