Summer

1    Løsning ved å bruke det siste sifferet

Siste siffer i 10 påfølgende tall er alle sifrene fra og med 0 til og med 9. Hvis vi legger dem sammen, får vi 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 8 + 9 = 45. Det bety at om vi legger sammen 10 påfølgende tall, vil summen alltid ende på 5.
2012 ender på 2, så David må ha fjernet et tall som ender på 3. I en mengde på 10 påfølgende tall vil alle ende på forskjellige siffer, så det er bare ett tall som ender på 3, blant 10 tall som følger etter hverandre.
De 9 tallene som er igjen, er påfølgende tall, men med ett som mangler. Tallet kan ikke være så langt unna 2012 : 9 = 223,5.
223,5 er nær 223, som ender på 3, så dette er løsningen: David tok bort tallet 223.

2    Løsning ved å bruke det siste sifferet

Vi kan skrive summen av 10 påfølgende tall som
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) + (n + 6) + (n + 7) + (n + 8) + (n + 9) =
10n + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 8 + 9 =
10n + 45
10n ender på 0, så 10n + 45 ender på 5. 2012 ender på 2, så David må ha fjernet et tall som ender på 3. I en mengde på 10 påfølgende tall vil alle ende på forskjellige siffer, så det er bare ett tall som ender på 3, blant 10 tall som følger etter hverandre.
De 9 tallene som er igjen, er påfølgende tall, men med ett som mangler. Tallet kan ikke være så langt unna 2012 : 9 = 223,5.
223,5 er nær 223, som ender på 3, så dette er løsningen: David tok bort tallet 223.

3    Prøving og feiling

De 10 påfølgende tallene minus det ene som er fjernet, må ligge ganske nær 2012 : 9 = 223,5.
Prøv med å legge sammen de 10 tallene fra 218 til 227. Summen blir 2225, som er 213 mer enn 2012. Siden 213 ikke er blant tallene 218 – 227, kan ikke dette være en løsning.
Prøv med å legge sammen de 10 tallene fra 219 til 228. Summen blir 10 mer enn 2225 (siden vi har lagt 1 til hvert av de 10 tallene), altså 2235. Det er 223 mer enn 2012, og siden 223 er blant tallene 219 – 228, må dette være en løsning. David må ha fjernet tallet 223.
Finnes det flere løsninger? Prøv med å legge sammen de 10 tallene fra 220 til 229. Summen blir 2245, som er 233 mer enn 2012. Siden 233 ikke er blant tallene 220 – 229, kan ikke dette være en løsning.

4    Algebraisk løsning

La de 10 påfølgende tallene være n, n + 1, n + 2 … n + 9. Anta at David fjernet tallet n + i, der i er et helt tall mellom 0 og 9.
Siden n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) + (n + 6) + (n + 7) + (n + 8) + (n + 9) = 10n + 45, vil summen av tallene når n + i er fjernet, bli 10n + 45 – (n + i) = 9n + 45 - i.
Dette gir likningen 9n + 45 – i = 2012.
Det minste i kan være, er 0, og hvis i = 0, er 9n + 45 = 2012, og vi får 9n = 1967 og n = 218,5.
Det største i kan være, er 9, og hvis i = 9, er 9n + 36 = 2012, og vi får 9n = 1976 og n = 219,5.
n skal være et helt tall mellom 218,5 og 219,5. Da må n være 219.
Så
9 • 219 + 45 – i = 2012
2016 – i = 2012
i = 4
Tallet David fjernet, var n + i = 219 + 4 = 223.