Læreplankoblet

Systemet taler

Stikkord: Likningssett Kombinasjoner

Problem

Sjå på systemet i likningane nedanfor.

\(\begin{array}{l} ab = 1\\ bc = 2\\ cd = 3\\ de = 4\\ ea = 6 \end{array}\)

Kan du finne ei mengd av tal {a, b, c, d, e} som er løysing i likningssettet?

Kan du finne meir enn ei løysing?

 

Starthjelp

  • Korleis løyser du likningssett der det berre er to ukjende i staden for fem?

  • Kan du skrive b som eit uttrykk med a?

  • Kan du skrive c som eit uttrykk med b?

  • Kan du kombinere desse to og skrive c som eit uttrykk med a?

 

Løysing

\(\begin{array}{l} ab = 1{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}b = \frac{1}{a}\\ bc = 2{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}c = \frac{2}{b} = \frac{2}{{\frac{1}{a}}} = 2a\\ cd = 3{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}d = \frac{3}{c} = \frac{3}{{2a}}\\ de = 4{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}e = \frac{4}{d} = \frac{4}{{\frac{3}{{2a}}}} = \frac{{8a}}{3}\\ ea = 6{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\frac{{8a}}{3} \cdot a = 6{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{a^2} = \frac{{6 \cdot 3}}{8} = \frac{9}{4}\\ \\ {\text{Løysing for }}a:\\ a = \frac{3}{2}{\rm{ }} \vee {\rm{ }}a = - \frac{3}{2} \end{array} \\ \\ \)

\(\text{Vi set desse verdiane for } a\text{ inn}\\\text{for å finne verdien til dei andre bokstavane:} \\ \\ \begin{array}{l} b = \frac{1}{a} \Rightarrow b = \frac{2}{3}{\rm{ }} \vee {\rm{ }}b = - \frac{2}{3}\\ c = 2a \Rightarrow c = 3{\rm{ }} \vee {\rm{ }}c = - 3\\ d = \frac{3}{{2a}} \Rightarrow d = 1{\rm{ }} \vee {\rm{ }}d = - 1\\ e = \frac{{8a}}{3} \Rightarrow e = 4{\rm{ }} \vee {\rm{ }}e = - 4 \\ \\ {\text{Vi får to mengder med løysingar for }}\left\{ {a,b,c,d,e} \right\}:\\ \left\{ {\frac{3}{2},\frac{2}{3},3,1,4} \right\}{\rm{ og }}\left\{ { - \frac{3}{2}, - \frac{2}{3}, - 3, - 1, - 4} \right\} \end{array}\)

 

Det finst fleire vegar til løysing:

\(\begin{array}{c} \begin{aligned} \left( {ab} \right)\left( {bc} \right)\left( {cd} \right)\left( {de} \right)\left( {ea} \right) &= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6\\ {a^2}{b^2}{c^2}{d^2}{e^2} &= 144\\ {\left( {abcde} \right)^2} &= 144\\ abcde &= \pm 12\\ e &= \frac{{abcde}}{{\left( {ab} \right)\left( {cd} \right)}} = \frac{{ \pm 12}}{{1 \cdot 3}} = \pm 4 \end{aligned} \end{array}\)

\(\text{Vi set inn i resten av uttrykka for å finne}\\ \text{verdien til dei andre bokstavane:}\\ \\ \begin{array}{l} de = 4{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}d = \frac{4}{e} = \pm 1\\ cd = 3{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}c = \frac{3}{d} = \pm 3\\ bc = 2{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}b = \frac{2}{c} = \pm \frac{2}{3}\\ ab = 1{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}a = \frac{1}{b} = \pm \frac{3}{2} \end{array} \\ \\ \)

\( \text{Når vi set inn }e = 4,\text{ får vi dei positive tala.} \\ \text{Når vi set inn }e = - 4{\text{ får vi dei negative tala. }} \\ \\ \text{Løysingane blir dei same som ovanfor:}\\ \\\)

\(\begin{array} {l} a = \frac{3}{2},{\rm{ }}b = \frac{2}{3},{\rm{ }}c = 3,{\rm{ }}d = 1,{\rm{ }}e = 4{\text{ eller}}\\ a = - \frac{3}{2},{\rm{ }}b = - \frac{2}{3},{\rm{ }}c = - 3,{\rm{ }}d = - 1,{\rm{ }}e = - 4 \end{array} \)

 

 

Ressursen er utviklet av NRICH

10