Et tog av tall
Problem
En spesiell følge av N påfølgende heltall begynner med 1111 på denne måten:
1111, 1112, 1113, …, (1111 + N – 1)
Hele følgen flyttes D plasser langs tallinja og det første tallet utelates slik at vi får en følge av N – 1 påfølgende tall på denne måten:
1112 + D, 1113 + D, …, (1111 + N – 1) + D
I begge følgene er summen av alle tallene den samme.
Hvilke mulige verdier kan N og D ha?
Løsning
Vi setter de to følgene lik hverandre:
\(\begin{align} 1111+\:&1112+1113\:+\:...\:+\:(1111+N-1)\\ =&1112+D+1113+D\:+\:...\:+\:(1111+N-1)+D\\ \end{align}\)
\(\begin{align} 1111+\:&1112+1113\:+\:...\:+\:(1111+N-1)\\ =&1112+1113\:+\:...\:+\:(1111+N-1)+(N-1)D \end{align}\)
Trekker fra like tall på begge sider av likhetstegnet, og står igjen med:
\(1111=(N-1)D\)
Faktoriserer vi 1111, ser vi at det kan skrives som produkt på to måter:
\(1111=1111\cdot1\:\land\:1111=101\cdot11\)
Løsning:
\(\begin{align} N-1&=1&\Rightarrow&&N&=2&\land &&D&=1111\quad &Sum\:av\:begge\:følger:\: &2223\\ N-1&=11&\Rightarrow&&N&=12&\land &&D&=101\quad &Sum\:av\:begge\:følger: \:&13398\\ N-1&=101&\Rightarrow&&N&=102&\land &&D&=11\quad &Sum\:av\:begge\:følger: \:&118473\\ N-1&=1111&\Rightarrow&&N&=1112&\land &&D&=1\quad &Sum\:av\:begge\:følger: \:&1853148\end{align}\)
Du kan kontrollere summene med formelen for sum av aritmetisk rekke eller med regneark.
Ressursen er utviklet av NRICH