Læreplankoblet

Eit tog av tal

Stikkord: Tallfølger

Problem

Ei spesiell følgje av N etterfølgjande heiltal startar med 1111 på denne måten:

1111, 1112, 1113, …, (1111 + N – 1)

Heile følgja blir flytta D plassar langs tallinja og det første talet blir utelaten slik at vi får ei følgje av N – 1 etterfølgjande tal på denne måten:

1112 + D, 1113 + D, …, (1111 + N – 1) + D

I begge følgjene er summen av alle tala den same.

Kva for nokre moglege verdiar kan N og D ha?

 

Løysing

Vi set dei to følgjene lik kvarandre:

1111+1112+1113+...+(1111+N−1)=1112+D+1113+D+...+(1111+N−1)+D

 

1111+1112+1113+...+(1111+N−1)=1112+1113+...+(1111+N−1)+(N−1)D

Trekkjer frå like tal på begge sider av likskapsteiknet, og står igjen med:

1111=(N−1)D

Faktoriserer vi 1111, ser vi at det kan skrivast som produkt på to måtar:

1111=1111⋅1∧1111=101⋅11

Løsning:

N−1=1⇒N=2∧D=1111Sumavbeggefølgjer:2223N−1=11⇒N=12∧D=101Sumavbeggefølgjer:13398N−1=101⇒N=102∧D=11Sumavbeggefølgjer:118473N−1=1111⇒N=1112∧D=1Sumavbeggefølgjer:1853148

 

Du kan kontrollere summane med formelen for sum av aritmetisk rekkje eller med rekneark.

 

Ressursen er utviklet av NRICH

10