Hvem må ta oppvasken?

Ordningen Siri og Anna kom fram til, var ikke rettferdig. Vi kan vise det på flere måter. Legg merke til de ulike måtene å forklare det på, og prøv å forstå alle.

1. Kombinatorikk, uordnede utvalg:
Vi kan gi hver brikke et nummer og skrive opp alle mulige resultater av trekninger:

To av seks utfall er brikker med samme farge.

Vi kan også lage en tegning av brikkene så vi er sikre på å få med alle mulige kombinasjoner. Vi lar stiplet linje forbinde to brikker av ulik farge og heltrukken linje to brikker av samme farge. Resultatet blir det samme:

Det er fire forbindelseslinjer mellom to brikker av ulik farge og to forbindelseslinjer mellom to av samme farge. Det blir to utfall med to like farger og fire utfall med to ulike farger, så Siri kan regne med å måtte ta dobbelt så mange oppvasker som Anna.

2. Kombinatorikk, ordnede utvalg:

Vi kan tegne et valgtre eller lage en tabell for å få oversikt over alle mulige kombinasjoner:

Vi ser at det er 12 mulige utfall, og 4 av dem har to like farger, mens 8 har to ulike farger. Forholdet blir altså det samme som i forrige løsning: Siri må vaske opp dobbelt så mange ganger som Anna. 

3. Sannsynlighet:

Vi kan tegne et valgtre eller sette opp en utregning med sannsynligheter for å vise det samme som ovenfor:

\(\text{P(to av samme farge) = P(rød og rød) + P(blå og blå)}\)

\(=\frac12\cdot\frac13+\frac12\cdot\frac13=\frac26=\frac13\)

\(\text{Da blir P(to av ulik farge) = 1 - P(to av samme farge)}= 1-\frac13=\frac23\).

Vi prøver med andre antall av brikker i to farger

• Vi kan prøve med to røde og fire blå brikker:
  P(to av samme farge) = P(to røde) + P(to blå)
  \(=\frac26\cdot\frac15+\frac46\cdot\frac35=\frac2{30}+\frac{12}{30}=\frac{14}{30}=\frac7{15}\).
  Dette er ikke rettferdig, for sannsynligheten må bli \(\frac12\) for at det skal være like sannsynlig å trekke to like som to ulike. Men det ble mye nærmere, så det var mer rettferdig enn med to brikker av hver farge.
• Vi kan prøve med en rød og tre blå. Da er det bare to blå som er "to av samme farge":
  P(to av samme farge) = P(to blå) = \(\frac34\cdot\frac23=\frac{6}{12}=\frac12\).
  
  Hvis det er 1 rød og 3 blå brikker, får vi like mange forbindelser mellom brikker med like farger (heltrukken linje) som mellom brikker med ulike farger (stiplet linje).
  
  Dette ble rettferdig.

Kan vi finne flere kombinasjoner som gir like store sannsynligheter for to like som for to ulike brikker?

Det går an hvis vi lar antall blå og røde brikker være to påfølgende trekanttall,

1 og 3, 3 og 6, 6 og 10, 10 og 15, osv.

Alle trekanttall er summen av heltall fra 1 og oppover, slik at trekanttall nr. n er \(\frac{1+n}2\cdot n=\frac{n(n+1)}{2}\), mens det påfølgende tallet er trekanttall nr. n + 1: \(\frac{n(1+n)}2 + (n+1)\).

Vi kaller det to tallene a og b, og totalt antall brikker er a + b. Vi lar CAS regne ut sannsynligheter: 

Da må også sannsynligheten for å få en brikke av hver farge være \(\frac12\).

Vi kan vise at det er to påfølgende trekanttall som har denne egenskapen:

Vi tenker oss at vi har en mengde med a røde og b blå brikker, i alt a + b brikker.

Vi ønsker at sannsynligheten for å trekke to brikker av samme farge skal være \(\frac12\). 

\(\begin{align} \frac{a}{a+b}\cdot \frac{a-1}{a+b-1}+\frac{b}{a+b}\cdot \frac{b-1}{a+b-1}&=\frac12\\ \frac{a^2-a+b^2-b}{a^2+ab-a+ab+b^2-b}&=\frac12\\ 2(a^2-a+b^2-b)&=a^2+ab-a+ab+b^2-b\\ 2a^2-2a+2b^2-2b-a^2-ab+a-ab-b^2+b&=0\\ a^2-2ab+b^2-a-b&=0\\ (a-b)^2&=a+b \end{align}\)

Det er nettopp to påfølgende trekanttall som oppfyller denne likningen:

Antall røde brikker + antall blå brikker, a + b, utgjør et like stort areal som kvadratet \((a-b)^2\).