Læreplankoblet

LAST NED kopioriginaler

Oddetal, partal og fleire partal

Stikkord: Tallfølger Mønster

Aktivitet

Her er dei første få følgjene i ein familie av nærståande følgjer:

\(A_0=1,\:3,\:5,\:7,\:9,\:11,\:13,\:15,\:17,\:19,\:21,\:23,\:25,\:27,\:29,\:...\\ A_1=2,\:6,\:10,\:14,\:18,\:22,\:26,\:30,\:34,\:38,\:42,\:...\\ A_2=4,\:12,\:20,\:28,\:36,\:44,\:52,\:60,\:...\\ A_3=8,\:24,\:40,\:56,\:72,\:88,\:104,\:...\\ A_4=16,\:48,\:80,\:112,\:144,\:...\\ A_5=32,\:96,\:160,\:...\\ A_6=64,\:...\\ A_7= \:... \)

Kva følgjer vil innehalde talet 1000?

Så snart de har hatt tid til å tenkje over problemet, kan de sjå korleis elevane Alise, Bernard og Karl starta å arbeide med det.

Ta utgangspunkt i ideane til Alise, Bernard og Karl, og bruk kvar av dei til å finne ei løysing.

Alise

Viss eg ser på tala som står rett under kvarandre, ser eg at kvart tal blir dobla for kvar ny linje. Eg lurer på om eg kan tenkje meg kva tal som må stå i linjene ovanfor 1000.

Bernard

Eg ser at tala som endar på 0 i A1, er 10, 30, 50 … Viss eg held fram med å leggje til 20 og 20, vil eg aldri få 100, så 1000 er ikkje i A1.

Karl

Eg ser at alle tala i A1 er 2 meir enn eit tal i 4-gangen. Eg veit at 1000 = 250 · 4, så 1000 er i 4-gongen og kan ikkje vere i A1.

 

Starthjelp

For Alises måte å tenkje på:

  • Kva skjer med tala når du går nedover radene?

  • Kva skjer når du går oppover radene?

For Bernards måte å tenkje på:

  • Kva tal endar på 0 i følgja A2?

  • Kva tal endar på 0 i følgja A3?

  • Kva for nokre av desse følgjene vil treffe 1000?

For Karls måte å tenkje på:

  • Kan du finne ein tilsvarande måte å beskrive dei andre følgjene på?

  • Kva for nokre av skildringane inneheld 1000?

 

Løysing

1000 finst i følgja A3 og berre der.

Det kan grunngivast på mange måtar, ein av dei er slik:

A0 består av alle oddetala, så 1000 kan ikkje finnast i denne talfølgja.

A1 startar med 2 og kvart ledd er 4 større enn det førre. Det betyr at følgja består av alle partal som ikkje er i 4-gongen. Sidan 1000 er i 4-gongen, kan ikkje 1000 vere med i denne talfølgja.

A2 startar med 4 og kvart ledd er 8 større enn det førre. Følgja består altså av tala som er 4 større enn tala i 8-gongen.  Sidan 1000 er i 8-gongen, vil ingen tal i denne følgja bli 1000.

A3 byrjar med 8 og kvart ledd er 16 større enn det førre. Følgja består altså av tal som er 8 større enn tala i 16-gongen. Vi kan finne at 16 ∙ 62 = 992, då vil 8 + 992 = 1000 finst i denne talfølgja.

A4 byrjar med 16 og kvart ledd er 32 større enn det førre. Følgja består altså av tal som er 16 større enn tala i 32-gongen. Vi kan finne at 32 ∙ 31 = 992 og 16 + 992 = 1008. 1000 vil ikkje finnast i denne følgja.

A5 byrjar med 32 og kvart ledd er 64 større enn det førre. Følgja består altså av tal som er 32 større enn tala i 64-gongen. Vi kan finne at 64 ∙ 15 = 960 og 32 + 960 = 992. Neste tal i følgja er 992 + 64 = 1056. 1000 er ikkje med.

A6 byrjar med 64 og kvart ledd er 128 større enn det førre. Vi finn at 64 + 128 ∙ 7 = 960 og neste tal i følgja er 960 + 128 = 1088, så 1000 er ikkje med.

A7 = 128, 384, 640, 896, 1152, …

A8 = 256, 768, 1280, …

A9 = 512, 1536, …

A10 = 1024, …

 

Lærarrettleiing

Kvifor arbeide med denne oppgåva?

Denne oppgåva gir ein enkel start på diskusjonar om følgjer som kan føre til generaliseringar. Kanskje kan oppgåva til og med få nokre elevar til å tenkje på ulike grader av uendelighet. (Det finst ulike grader av uendelighet, og dei blir angitte av kardinaltal.)

Moleg tilnærming

Start med å la elevane sjå lista over følgja A0–A6.

«Kva legg de merke til?»

Gi elevane tid til å studere følgja litt i par før dei deler det dei har tenkt i klassen. La dei få tid til å beskrive mønsteret i følgja før spørsmålet i oppgåva blir stilt:

Kva følgjer vil innehalde talet 1000?

Kopieringsoriginal til oppgåva finst i menyen til venstre.

Når elevane har komme så langt som dei klarer, kan dei sjå på Alises, Bernards og Karls tilnærmingar til problemet. Dette kan også kopierast på papir. Kopieringsoriginalen ligg i menyen til venstre.

 

Spørsmål som kan hjelpe elevane vidare med utgangspunkt i dei tre måtane å starte resonnementa på:

For Alises måte å tenkje på:

  • Kva skjer med tala når du går nedover radene?

  • Kva skjer når du går oppover radene?

For Bernards måte å tenkje på:

  • Kva tal endar på 0 i følgja A2?

  • Kva tal endar på 0 i følgja A3?

  • Kva for nokre av desse følgja vil treffe 1000?

For Karls måte å tenkje på:

  • Kan du finne ein tilsvarande måte å beskrive dei andre følgjene på?

  • Kva for nokre av skildringane inneheld 1000?

La nokre elevar få presentere løysingane sine med utgangspunkt i dei tre tilnærmingane. Viss nokon har andre måtar å resonnere på, skal dei også få presentere dei.

I oppfølginga av dette arbeidet kan læraren starte med spørsmålet som vart stilt i utgangspunktet:

«Kva legg de merke til?»

Inviter elevane til å uttrykkje det dei registrerer, som anten spørsmål eller påstandar.

Gode rettleiingsspørsmål

  • Kor mange av tala frå 1 til 63 finst i den første følgja? I den andre følgja? osb.

  • Vil alle positive heiltal finnast i ei av følgjene?

  • Vil nokre tal finnast i fleire av følgjene?

  • Kva følgje vil bli den lengste?

  • Viss du får oppgitt eit tilfeldig tal, korleis skal du då avgjere kva følgje det høyrer heime i?

  • Korleis vil du skrive det n-te talet i kvar av følgjene A0, A1, A2 … Am?

Moleg utviding

Lag overbevisande bevis for løysingane på følgjande spørsmål:

  • Vil alle positive heiltal finnast i ei av følgjene?
  • Vil nokre tal finnast i fleire av følgjene?

 

Ressursen er utviklet av NRICH

9