I einingsintervallet
Problem
Vel to tilfeldige tal mellom 0 og 1. Vis at summen av desse tala alltid er mindre enn 1 pluss produktet av tala. Det vil seie:
La \(0 < x < 1\) og \(0 < y < 1\).
Vis at då er \( x + y < 1 + xy\).
Starthjelp
Merk at ulikskapen \(x + y < 1 + xy\) er ekvivalentEin seier at to påstandar P og Q er ekvivalente viss følgjande er sant: 1) Viss P er sann, må også Q vere sann. 2) Viss Q er sann, må også P vere sann. Vi skriv P⇔Q , som blir lese P er ekvivalent med Q . Døme: "Viss Ida er i Frankrike, er ho i Europa" er ekvivalent med "viss Ida ikkje er i Europa, er ho ikkje i Frankrike". med \(xy – x – y + 1 > 0.\)
Løysing
Vi starter med den gitte forskjellen og skriv han på ei form som hjelper oss å vise at påstanden stemmer:
\(x + y < 1 + xy \\ \\ xy – x – y + 1 > 0 \\ x (y – 1) – (y – 1) > 0\\ (x – 1) (y – 1) > 0\\\)
Viss både x og y ligg mellom 0 og 1, vil både x – 1 < 0 og y – 1 < 0 for alle moglege verdiar av x og y. Det betyr at produktet av dei to faktorane alltid blir positivt, og at forskjellen er sann.
Alternativ løysing:
Vi veit at \(0 < 1 – x < 1\)
Sidan \(0 < y < 1\), vil \(y (1 – x) < 1 – x\)
Vi får \(y – xy < 1 – x\)
Dermed blir \(x + y < 1 + xy\)
Ressursen er utviklet av NRICH