Faktorisering av andregradsuttrykk
Aktivitet
I denne oppgåva blir centikubar brukt. Viss ein ikkje har dette utstyret, kan ein klippe ut kvadrat, stavar og einingskvadrat av stivt papir. Fire ulike ark finst under kopioriginalar i menyen til venstre. Det er viktig at det er fleire basar å velje mellom. Det betyr at det må vere kvadrat av ulike storleikar, stavar med same lengd som kvadratas sider og rikeleg med einingskubar eller brikker.
Sjå på videoen korleis Amund og Lene lagar rektangel av einingar, stavar og kvadrat med centikubar.
- Prøv å lage eit rektangel som representerer uttrykket \(x^2+7x+12.\)
- Kan de lage det i andre basar enn 3 og 5?
Sjå korleis Lene løyser dette problemet:
Bruk eit kvadrat, fleire stavar og 12 einingskubar i den basen de har valt. Sett kvadratet saman med stavar slik at det blir danna eit rektangel på ein slik måte at det vil bli eit rektangel uansett kva base de bruker.
Amund og Lene laga \(x^2+7x+12\) som eit rektangel med lengd \(x+4\) og breidd \(x+3\).
-
Kor mange ulike rektangel kan de lage?
-
Kva legg de merke til når det gjeld dimensjonane (lengd og breidd) til rektangla?
-
Tenk dykk at de har eit kvadrat, rikeleg med stavar og 100 einingskubar. Kva sidelengder er det mogleg å bruke når de lagar rektangel? Kva andregradsuttrykk svarer dei til?
-
Tenk dykk at de har eitt kvadrat, p stavar og q einingskubar. Kva sidelengder er det mogleg å bruke når de lagar rektangel? Kva andregradsuttrykk svarer dei til?
Vidare utfordring:
Kva rektangel kan de lage viss de bruker to, tre, fire, osb. kvadrat saman med stavar og einingskubar?
Starthjelp
-
Tenk dykk at de har eit kvadrat, rikeleg med stavar og 100 einingskubar. Kva sidelengder er det mogleg å bruke når de lagar rektangel? Kva andregradsuttrykk svarer dei til?
-
Start med å lage familiar av uttrykk som desse:
\(x^2+3x+2\\ x^2+4x+3\\ x^2+5x+4\: osv.\)
- Kva legg de merke til?
- Kan de forklare kvifor?
Løysing
Vi kan lage rektangel slik som illustrasjonen nedanfor:
Kvadratet svarer til arealet \(x^2.\)
Dei to raude rektangla er sett saman av stavar, og dei har areal \(ax\) og \(bx\). Det raude arealet er til saman \(ax+bx=(a+b)x.\)
Det blå arealet er \(ab.\)
Heile arealet er summen av grønt, raudt og blått areal: \(x^2+(a+b)x+ab.\)
Vi kan også skrive arealet på ein annan måte, for det store rektangelet har sidelengder \(x+a\) og \(x+b\), så arealet kan skrivast \((x+a)(x+b).\)
Då kan vi slå fast at \(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\).
Eit døme i tillegg:
Viss vi bruker eitt kvadrat og 12 stavar, kan vi lage 7 ulike rektangel som fungerer i alle basar:
\(x(x + 12), \:(x + 1)(x + 11), \:(x + 2)(x + 10), \:(x + 3)(x + 9), \\(x + 4)(x + 8),\: (x + 5)(x + 7), \:(x + 6)(x + 6)\)
Lærarrettleiing
Kvifor arbeide med denne oppgåva?
Når elevane blir kjende med faktorisering, er det mange som ikkje ser samanhengen mellom faktorisering av algebrauttrykk og det å splitte tal opp i faktorar. Denne oppgåva introduserer faktorisering gjennom ein visuell representasjon. Det kan gi elevane høve til å oppdage korleis eit algebraisk uttrykk kan faktoriserast, og kva som trengst for at det skal vere mogleg å faktorisere eit andregradsuttrykk.
Mogleg tilnærming
Begynn med å sjå den første filmen.
I denne oppgåva blir centikubar brukt. Viss ein ikkje har dette utstyret, kan ein klippe ut kvadrat, stavar og einingskvadrat av stivt papir. Det er viktig at det er fleire basar å velje mellom. Det betyr at det må vere kvadrat av ulike storleikar, stavar med same lengd som kvadrata sine sider og rikeleg med einingskubar eller brikker.
Be elevane gå saman i grupper på tre–fire, og la dei velje kva base dei vil arbeide med. Viss dei arbeider med centikubar, må dei få litt tid slik at alle får sett saman kvadratet sitt og eit tal stavar i rett storleik.
«Ta eit kvadrat, sju stavar og tolv einingskubar, og set dei saman til eit rektangel.»
«Samanlikn rektangla til alle i gruppa. Har de sett dei saman på same måte? Utfordringa er å finne ein måte å setje dei saman på som fungerer i alle basar.»
Sjå på den andre filmen. Her finn elevane ein måte å arrangere rektangelet på som fungerer i alle basar. Sørg for at alle får det med seg.
«No skal de lage eit rektangel ved å bruke eit kvadrat, fem stavar og åtte einingar.»
Gi gruppene tid til å arbeide med dette.
Samle heile klassen, og spør om nokon klarte å lage rektangel. Det er mogleg i base 3, 4 og 8, men ikkje i alle basar. Utfordringa blir å finne ut korleis dei raskt skal kunne avgjere om ein kombinasjon av kvadrat, stavar og einingar kan setjast saman til eit rektangel, uansett kva base dei arbeider med.
Spørsmåla i kopioriginalen kan vere ei hjelp for å gjere undersøkingane systematisk.
«Høyr på kvarandres tankar og løysingar. Kanskje får du idear som kan hjelpe deg i undersøkingane dine.»
Del til slutt i plenum det elevane har funne, og sørg for at dei viktigaste punkta blir samanfatta.
Gode rettleiingsspørsmål
Kva er samanhengen mellom talet på stavar og talet på einingskubar de treng, og dimensjonane (lengd og breidd) til rektangelet?
Mogleg støtte
Sett elevane i gang med å lage familiar av uttrykk som desse:
\(x^2+3x+2\\ x^2+4x+3\\ x^2+5x+4\)
Mogleg utvidelse
Tenk ut kva rektangel de kan lage viss de bruker to, tre, fire ... x kvadrat saman med stavar og einingskubar.
Ressursen er utviklet av NRICH