Vis/skjul
Du skal kunne finne trekantar med vinklar på
40˚, 70˚, 70˚
80˚, 50˚, 50˚
120˚, 30˚, 30˚
160˚, 10˚, 10˚
Trekantar i sirklar
Aktivitet
Dersom du vil arbeide på papir, kan du skrive ut kopioriginalen med sirklar med 9 punkt.
I GeoGebra-appleten nedanfor er det ein sirkel med 9 punkt som ligg med lik avstand på sirkellinja. Sentrum i sirkelen er også markert.
Teikn trekantar med eitt hjørne i sentrum av sirkelen og dei to andre i punkt på sirkellinja. Teikn så mange ulike trekantar du kan!
Kan du finne ut kor store vinklane i dei ulike trekantane er?
Her er ein trekant som er teikna mellom tre av punkta på sirkellinja:
Kor stor er vinklane i denne trekanten?
Klikk her for å sjå ein figur som kan hjelpe deg med å finne vinklane:
Vis/skjul
Teikn nokre fleire trekantar med hjørne i punkta på sirkellinja.
Kor mange forskjellige trekantar kan du lage?
Kan du finne vinklane i alle trekantane?
Kanskje synest du det er vanskelegare å finne vinklane når sentrum i sirkelen ikkje ligg inne i trekanten. Klikk nedanfor for å få litt hjelp:
Vis/skjul
Løysing
Sidan 9 punkt er plasserte med jamne mellomrom på sirkellinja, vil ein vinkel mellom sentrum og to punkt som ligg etter kvarandre, bli 40˚.
Dersom vi gjer vinkelen større ved å bruke punkta på sirkellinja, og teiknar ein trekant, kan vi lage trekantar med toppvinklar på 40˚, 80˚, 120˚ og 160˚.
Alle trekantar som har toppunkt i sentrum og to hjørne på sirkellinja, har to sider som er lik radien i sirkelen. Det betyr at dei er likebeina trekantar, og då veit vi at vinklane ved grunnlinja er like store.
Ein trekant inne i sirkelen:
Vi deler opp trekanten i tre trekantar som har toppunkt i sentrum i sirkelen, og skriv på vinkelstorleiken i alle trekantane. Då kan vi leggje saman to og to vinklar og få vinklane i trekanten som har alle hjørna på sirkellinja. I dette tilfellet har trekanten desse vinklane:
10˚ + 30˚ = 40˚
30˚ + 50˚ = 80˚
10˚ + 50˚ = 60˚
Dersom sentrum i sirkelen ligg utanfor trekanten, kan vi rekne slik som figuren viser:
Første vinkel i trekanten: blå vinkel + raud vinkel
Andre vinkel i trekanten: raud vinkel – grøn vinkel
Tredje vinkel i trekanten: blå vinkel – grøn vinkel
Lærarrettleiing
Kvifor arbeide med denne oppgåva?
Dette problemet utfordrar elevane til å bruke alt dei veit om vinklar i trekantar. Med nipunktssirkelen må elevane konsentrere seg om dei geometriske strukturane, medan rekninga er nokså enkel.
Dette er god førebuing til Rette vinklar, Vinklar i sirklar og Sykliske firkantar, og dei leier fram til bevis for fleire sirkelsetningar.
Mogleg tilnærming
Bruk anten kopioriginalen eller GeoGebra-appleten på oppgåvesida.
Still spørsmål som:
«Kor mange trekantar kan de lage dersom eitt hjørne skal liggje i sentrum i sirkelen, og dei to andre på sirkellinja?»
«Kan de finne alle vinklane i alle trekantane?»
Du kan få spørsmål om kva som gjer trekantar forskjellige. Det er eit godt høve til å snakke om kongruens.
Etter at elevane har arbeidd litt, gjerne i par, kan du samle klassen til ein samtale om korleis dei har funne vinklane, slik at alle kan bruke denne kunnskapen i arbeidet vidare.
Deretter kan du teikne ein trekant der alle hjørna ligg på sirkellinja. Sentrum i sirkelen skal liggje inne i denne trekanten. For eksempel kan det vere ein trekant som på figuren nedanfor.
«Kan de finne vinklane i denne trekanten ved å bruke det vi alt har funne ut?»
Etter at elevane har tenkt og diskutert, kan du samle klassen igjen og diskutere kva for strategiar dei kan tenkje seg å bruke. Det kan bli nødvendig å teikne dei likebeina trekantane med toppunkt i sentrum for å få elevane til å sjå samanhengen mellom dette problemet og det dei nettopp har funne ut av.
Så snart dei har forstått strategien, kan du be dei finne så mange trekantar som mogleg og rekne ut vinklane i dei.
Kanskje er det nødvendig med ein felles samtale om trekantar som ligg utanfor sentrum i sirkelen.
Gode rettleiingsspørsmål
- Kva veit du som kan kome til nytte når du skal rekne ut vinklane?
- Kan du teikne nokre ekstra hjelpelinjer for å få problemet til å likne på eit problem vi alt har løyst?
Mogleg utviding
Rette vinklar, Vinklar i sirklar og Sykliske firkantar er fine oppfølgingsoppgåver til dette problemet.
Ressursen er utviklet av NRICH