Kor stor er ramma?

Kvifor arbeide med denne oppgåva

Her er vi ikkje så interessert i svaret på oppgåva, men i korleis elevane tenkjer for å løyse ho. Oppgåva skal få dei til å leggje merke til korleis dei har tenkt, og bruke både eigen og tenkjemåten til andre til å løyse oppgåva, og generalisere svara med utgangspunkt i desse tenkjemåtane.

Mogleg tilnærming

I denne aktiviteten blir alle oppgåvene gitt munnleg. La elevane arbeide individuelt til å byrje med.

Vis eit bilete av kvadratet med 81 ruter der dei ytste raude rutene utgjer ramma. Og spør om kor mange ruter det er i ramma. Etter ei stund har sikkert dei fleste komme fram til 32. Før elevane får snakke med kvarandre, må dei få beskjed om å tenkje igjennom og gjerne notere korleis dei tenkte då dei fann dette talet.
Fortel at ein skal finne flest mogleg måtar å tenkje på for finne svaret. La elevane forklare framgangsmåtane sine, og hald fram til dei ikkje har fleire framgangsmåtar å forklare. Noter det dei forklarer, både med ord og reknestykke. Det kan til dømes sjå slik ut:

Arbeidet kan halde fram med samarbeid i par, og dei må ha skrivesaker tilgjengeleg. No skal elevane prøve å lage ei teikning som viser korleis dei har tenkt. Dei ulike teikningane må opp på tavla slik at alle kan sjå dei. Kan alle forstå tankegangen bak alle måtane å løyse oppgåva på? Stemmer teikningane med forklaringane?

Be så alle om å finne ut kor mange ruter det er i rammene til kvadrat med areal 16, 25 og 36, ved å bruke same metode som dei brukte i den første oppgåva. Be dei skrive ned reknestykka slik dei tenkte. Kan dei sjå eit mønster i reknestykka og i tala? Viss dei følgjer dette mønsteret, vil det stemme med at det er 32 ruter rundt kvadratet med sidelengder 9?

Kan elevane no finne eit uttrykk for talet på ruter i ramma til eit kvadrat med sidelengder n? Dei må sjå på utrekningane dei gjorde for kvadrata med sidelengder 4, 5, 6 og 9. Kvar i utrekninga finn dei talet som er sidelengda av kvadratet? Det er dette talet vi kan byte ut med n.

De kan få ulike moglege løysingar:

Kan vi vere sikre på at alle desse løysingane med n gir same svar?
La elevane rekne på eitt og eitt uttrykk og sjå om alle verkeleg er like.
Som avslutning kan alle bruke sine eigne reknereglar til å finne talet på ruter i ramma til kvadrat med sidelengder 20, 45 og 100.

Gode rettleiingsspørsmål

• Tenk gjennom korleis du tenkte når du fann ut kor mange ruter det var i ramma. Talte du ein og ein? Eller fann du ein måte som var raskare?

• Korleis vil du bruke metoden din til å finne talet på ruter i ramma på kvadrat med areal 16, 25 eller 36?

• Samanlikn reknestykka du har gjort. Kvar finn du igjen sidelengda i kvadratet i reknestykka?

Mogleg utviding

Ei vidare utfordring er å lage andre figurar. Til dømes kan ein lage rektangel der lengda er det dobbelte av breidda, og finne ein formel for talet på ruter i ramma når lengda er den ukjende storleiken.

Mogleg støtte

For elevar som synest overgangen frå reknestykke med tal til bokstavuttrykk er vanskeleg, kan det vere ei hjelp å setje opp utrekningane under kvarandre og markere talet som viser sidelengda i kvadratet.
Til dømes viss eleven har brukt strategien «Eg tek bort brikkene i hjørna. Då har eg fire gonger 7 brikker. Så legg eg til dei fire brikkene igjen.» Då kan reknestykka sjå slik ut:

Kvadrat med sidelengder \(9:4 \cdot (\color{red}9- 2) + 4 = 32 \)
Kvadrat med sidelengder \(4:4 \cdot (\color{red}4- 2) + 4 = 12\)
Kvadrat med sidelengder \(5:4 \cdot (\color{red}5- 2) + 4 = 16\)
Kvadrat med sidelengder \(6:4 \cdot (\color{red}6 -2) + 4 = 20 \)

Talet som viser talet på ruter i sidelengdene kan erstattast med n:
Kvadrat med sidelengder \(n:4 \cdot (\color{red}n- 2) + 4\)
Ein kan gjere tilsvarande med alle måtane å rekne på.