Kvadratisk rutenett
Problem
Eit kvadrat er delt opp i 100 x 100 ruter. 100 ruter i første rada er fargelagde, 99 i andre rada, 98 i tredje rada, osv.
- Kor stor brøkdel av heile det store kvadratet er fargelagd?
- Kan du forklare korleis du kan avgjere kor mange farga ruter det er, same kor stort kvadratet er
- med ord?
- med ein formel?
- med ei teikning?
Korleis blir det dersom det var ein kube som var oppbygd av 100 lag med 100 x 100 små kubar i kvart lag? 99 x 99 farga kubar i det første laget, 98 x 98 farga kubar i det andre laget, 97 x 97 kubar i det tredje laget, osv.
- Kor stor brøkdel av dei små kubane er fargelagd?
Starthjelp
- Du kan teikne for å få oversikt.
- Teikn eit mindre kvadrat som er delt opp i ruter, og fargelegg etter same mønsteret. Kor stor del av dette kvadratet blir fargelagd?
Løysing
Det er fleire måter å løyse oppgåva på:
1. Samanlikne løysinga med halvparten av kvadratet
Tenk deg at du kuttar kvadratet gjennom diagonalen slik figuren nedanfor viser. Til høgre for diagonalen er alt fargelagt. Men det fargelagde området er større enn halvparten av kvadratet, for det er ei halv fargelagd rute til venstre for diagonalen for kvar rad. Det er 100 rader, og 100 halve ruter blir til saman 50 heile ruter.
Det fargelagde området er halvparten av dei 100 x 100 rutene + 50 ruter, det vil seie 5000 ruter + 50 ruter = 5050 ruter.
Brøkdelen av heile kvadratet blir \(\displaystyle{5050 \over 10000 } = {101 \over 200 }\).
2. Leggje til ei ekstra rad
I kvadratet er det det nesten like mange kvite som fargelagde ruter. For eksempel har den tredje rada 98 fargelagde ruter, men den nest siste rada har 98 kvite ruter, sjå figuren til venstre. Dersom vi legg til ei ekstra rad med kvite ruter, slik figuren til høgre viser, vil det vere like mange kvite som farga ruter. I rutenettet til høgre er det 101 rader, men framleis 100 kolonnar, så det er til saman 100 x 101 ruter = 10 100 ruter. Halvparten av det er 5050, så 5050 av dei 10 000 rutene i det opphavlege kvadratet er fargelagde.
Brøkdelen av heile kvadratet blir \(\displaystyle{5050 \over 10000 } = {101 \over 200 }\).
3. Flytte på rader
Vi kan tenkje oss at vi klipper ut dei fargelagde rutene i dei nedste radene og flytter dei opp til dei øvste radene, slik at vi berre får rader der alle rutene er fargelagde. På figurane nedanfor er dei fire nedste radene flytte opp.
Kor mange rader kan vi flytte på denne måten?
La rad 1 vere den nedste rada. Rad 1 er sett saman med rad 99, rad 2 med rad 98, rad 3 med rad 97, osv., og rad 49 er sett saman med rad 51. Då blir rad 50 ståande med 50 fargelagde og 50 kvite ruter. I 50 rader er alle rutene fargelagde, og 49 rader har berre kvite ruter. I alt er 50 x 100 + 50 ruter fargelagde = 5050 ruter.
Brøkdelen av heile kvadratet blir \(\displaystyle{5050 \over 10000 } = {101 \over 200 }\) .
Ressursen er utviklet av NRICH